我們的這個(gè)發(fā)現(xiàn)將中國(guó)古代對(duì)正負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)與實(shí)際運(yùn)用時(shí)間提早到了戰(zhàn)國(guó)晚期，是數(shù)學(xué)發(fā)展史研究的一大收獲?！?1月13日，西北大學(xué)博士生李振飛告訴記者，神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵墓出土的象牙算籌主要有紅白籌和紅黑籌兩類顏色，這與《九章算術(shù)》劉徽注釋中提到的古代用于正負(fù)數(shù)運(yùn)算的“赤黑算”也許有關(guān)，應(yīng)是此類計(jì)算工具的早期形態(tài)。據(jù)了解，該研究成果的論文李振飛和陜西師范大學(xué)歷史文化學(xué)院郭妍利已經(jīng)發(fā)表在刊物《考古與文物》上。

神奇彩色算籌出土于南郊神禾原

象牙算籌出土于神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵園，位于陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)南郊，2004～2008年間，陜西省考古研究院在此進(jìn)行了四年的發(fā)掘工作，揭露了一座由亞字形大墓、兆溝、垣墻、從葬坑、建筑基址等構(gòu)成的大型戰(zhàn)國(guó)秦陵園遺址。陵墓雖遭嚴(yán)重的盜掘，但仍出土了較多重要文物，其中在直通大墓槨室的早期盜洞內(nèi)發(fā)現(xiàn)一批制作精良的象牙算籌，籌身涂飾以紅、黑色彩，此類形制未見(jiàn)于以往的考古發(fā)現(xiàn)及文獻(xiàn)記載。

這批算籌均為象牙質(zhì)地，長(zhǎng)短、粗細(xì)幾乎完全一致。多數(shù)完整，少數(shù)有不同程度的殘斷。牙籌整體呈細(xì)圓棒狀，部分籌身兩端微收窄，表面光滑，磨制精細(xì)，兩端截面齊整。完整籌身通長(zhǎng)為18.3～18.5厘米、直徑0.49～0.54厘米，單體重5.7～7.7克。以完整的算籌（含粘接復(fù)原的個(gè)體）以及殘余籌身長(zhǎng)度大于完整器一半的斷籌計(jì)數(shù)。該批算籌總數(shù)至少為61根，根據(jù)籌身彩繪及加工方式的不同，這批算籌可分為素白色、紅白色、紅黑色三種類型，另有兩根殘籌無(wú)法辨識(shí)。其中素白籌僅1根；紅黑籌有28根，兩端各長(zhǎng)3.4厘米的紅褐色漆皮，脫落嚴(yán)重，籌身中段為黑色，顏色因保存狀況不同深淺不一；紅白籌30根，中段為象牙原色，兩端為紅褐色漆皮。后兩類籌身兩端紅褐色漆皮段與中間段之間發(fā)現(xiàn)有一圈極細(xì)的刻槽分界線，兩部分的界限十分整齊。

中段黑色算籌

算籌的不同的顏色分別表示正負(fù)數(shù)

李振飛介紹說(shuō)，原算籌作為古代生產(chǎn)生活的常用工具，應(yīng)用廣泛而持久，早在《論語(yǔ)》中即有記載，也被稱為“籌”“算”“策”“筭”等。它的材質(zhì)并無(wú)嚴(yán)格的規(guī)定，有竹、木、骨、牙乃至金屬籌，多在戰(zhàn)國(guó)晚期至東漢的墓葬中有所發(fā)現(xiàn)。

首先從大小來(lái)看，算籌的大小在早期多隨原材料的大小而定，后代隨著經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)的發(fā)展、各類算書(shū)的出現(xiàn)而漸有制度，神禾原發(fā)現(xiàn)算籌的長(zhǎng)度約合秦漢時(shí)期的八寸。由于算籌的材料、尺寸、形制均變化較大，不易識(shí)別，考古報(bào)告中對(duì)類似器物的叫法也有很多，比如“骨條”、“竹棍”，甚至“竹筷”、“箸”等。從算籌的數(shù)量來(lái)看，神禾原出土的30根紅白籌、28根紅黑籌具有計(jì)算意義上的實(shí)用性。

那么，如何推測(cè)出這個(gè)算籌可以計(jì)算負(fù)數(shù)？原因就是神禾原牙籌的色彩。這批牙籌最大的特征為其上的彩繪，籌身現(xiàn)存的涂色在視覺(jué)上表現(xiàn)為“紅白”與“紅黑”色。這和數(shù)學(xué)家的赤黑算十分相似，它就是用來(lái)計(jì)算正負(fù)數(shù)的工具。《九章算術(shù)》劉徽注中說(shuō)“今兩算得失相反”，說(shuō)明至遲在魏晉時(shí)期使用紅黑算籌來(lái)表示正負(fù)數(shù)、輔助正負(fù)數(shù)運(yùn)算已成定式。

不同的顏色表示正負(fù)數(shù)，李振飛表示，這個(gè)來(lái)源自《九章算術(shù)·方程》章中關(guān)于“正負(fù)術(shù)”的記載，這是被認(rèn)為是中國(guó)最早對(duì)“負(fù)數(shù)”概念進(jìn)行說(shuō)明和使用的珍貴文獻(xiàn)。魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽對(duì)此注釋有：“正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異?！币簿褪钦f(shuō)，進(jìn)行正負(fù)數(shù)的計(jì)算時(shí)，用紅色算籌代表正數(shù)，黑色算籌代表負(fù)數(shù)。而神禾原秦陵墓發(fā)現(xiàn)的紅、黑彩算籌很可能與劉徽提到的赤黑算有關(guān)。

原來(lái)，負(fù)數(shù)概念的出現(xiàn)要早于抽象化的運(yùn)算法則的確立。中國(guó)古代數(shù)學(xué)史研究專家李儼認(rèn)為負(fù)數(shù)的產(chǎn)生不晚于秦代，相應(yīng)的用以表示正負(fù)數(shù)運(yùn)算的算籌也應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在先秦時(shí)期。這時(shí)的負(fù)數(shù)記錄與使用方式與漢代算書(shū)中體系化的總結(jié)可能存在一定差異，最早的赤黑算應(yīng)當(dāng)就是兩類形態(tài)有差別的算籌，用于指代不同的概念。因此，神禾原秦陵墓發(fā)現(xiàn)的這種白黑籌的組合可能是赤黑算的早期形態(tài)，是先秦時(shí)期正負(fù)數(shù)概念形成以及運(yùn)算規(guī)則探索階段的成果。

正負(fù)數(shù)概念提早至戰(zhàn)國(guó)

那么，這樣可以計(jì)算“正負(fù)數(shù)”的算籌當(dāng)時(shí)主要用來(lái)做什么？李振飛指出，目前我國(guó)已知考古工作中最早發(fā)現(xiàn)的算籌實(shí)物是1954年湖南長(zhǎng)沙左家山戰(zhàn)國(guó)楚墓中出土的“竹簽”，而神禾原戰(zhàn)國(guó)秦陵墓墓主身份十分尊貴，算籌用來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的可能性不大，更可能是作為統(tǒng)治、管理者記錄其下屬的功過(guò)或者對(duì)下屬的賞罰等行為的計(jì)數(shù)工具。

不同顏色的算籌即代表實(shí)際生產(chǎn)生活中的“功”與“過(guò)”、“賞”與“罰”、“收”與“支”等。因而，李振飛表示，神禾原出土涂色牙籌的確可能為劉徽所記述的用于表示正負(fù)數(shù)的赤黑算的前身。它是戰(zhàn)國(guó)秦漢時(shí)期應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展到了一定程度的產(chǎn)物，也促進(jìn)了這一時(shí)期數(shù)學(xué)中關(guān)于正負(fù)數(shù)計(jì)算的理論化、規(guī)則化。

這個(gè)新成果意義重大，體現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的極高成就。李振飛認(rèn)為，“神禾原秦陵墓出土的涂色算籌將中國(guó)古代使用正負(fù)數(shù)概念進(jìn)行運(yùn)算的時(shí)間提早至戰(zhàn)國(guó)晚期，相比于《九章算術(shù)》中記載的“正負(fù)術(shù)”早了兩百余年，與國(guó)外最早由古印度數(shù)學(xué)家在公元7世紀(jì)提出的正、負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則相比早了八百余年?！?/p>

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